簡単な数学の証明問題（の答え）

最近は数学ブームだとどこかで見ましたが、
私がいつも読んでいる竹書房の4コマでも、
「数学女子」という漫画が連載されております

数学女子 1 (バンブー・コミックス)

内容的には「数学科に通う女子大生のコメディ」なので、
特に数学の知識がなくても構わない漫画です

これをROのBlogで紹介するついでに、
ちょっとした数学の証明問題を出した*1のですが・・・

これの答えをあっちに書くと長くなりすぎるのと、
答えが別のBlogにあれば間違って見てしまうこともないだろう、ということで、
こっちに（私の想定した）解答を書いておきます

問題（再掲）

Q1.
百の位が0ではない三桁の自然数Aがある。
Aについて各桁の数字の和が9で割り切れるとき、
A自体も9で割り切れることを証明せよ。

Q2.
「10^n - 1」（nは自然数）が、9で割り切れることを証明せよ。

Q3.
1以上の任意の桁数の自然数N（ただし最高の桁の数字は0でない）がある。
Nについて各桁の数字の和が9で割り切れるとき、
N自体も9で割り切れることを証明せよ。

解答例

こういった連続した問題の場合、
前の問題が次の問題のヒントになっているものです
なので、順番に解いていけばおのずと答えが見えてきます

Q1.の答え

百の位・十の位・一の位の各数をa/b/c（ただしa>0、b>=0、c>=0）とすると、
「A=100*a+10*b+c」と表せる
これを変形すると以下のようになる

A = 100*a + 10*b + c
  = 100*a + 10*b + (a + b + c) - (a + b)
  = (100-1)*a + (10-1)*b + (a + b + c)
  = 99*a + 9*b + (a + b + c)

99や9が9の倍数であることは自明で、
題意よりa+b+cも9の倍数なので、Aは9の倍数である

Q2.の答え

帰納法で証明する
以下「f(n) = 10^n - 1」と定義する

n=1のときは以下のようになる

f(1) = 10^1 - 1 = 9

よって、f(1)は9の倍数である

続いてf(k)を9の倍数と仮定し、
f(k+1)とf(k)の差分を取ると以下のようになる

  f(k+1) - f(k)
= 10^(k+1) - 1 - (10^k - 1)
= 10^(k+1) - 10^k
= 10^k * (10 - 1)
= 10^k * 9

よって、「f(k+1)=f(k)+9*10^k」が成立する
9*10^kが9の倍数であるのは自明であり、
f(k)は9の倍数と仮定しているから、f(k+1)も9の倍数である

以上により、任意の自然数nに対しf(n)は9の倍数である

Q3.の答え

Q1の考え方を応用する
i桁の自然数Nは以下のように表記できる

N = 10^(i-1) * a[1] + 10^(i-2) * a[2] + ... + 10^1 * a[i-1] + a[i]
ただし、a[1]>0、a[k]>=0 、1 < k <= i

これをQ1同様に変形する

N = 10^(i-1) * a[1] + 10^(i-2) * a[2] + ... + 10 * a[i-1] + a[i]
  = 10^(i-1) * a[1] + ... + (a[1]+a[2]+ ... +a[i]) - (a[1]+...+a[i-1])
  = (10^(i-1) - 1) * a[1] + (10^(i-2) - 1) * a[2] + ... (10-1) * a[i-1] + (a[1]+...+a[i])
  = f(i-1) * a[1] + f(i-2) * a[2] + ... + f(1) * a[i-1] + (a[1]+...+a[i])

最後の定数項は題意より9の倍数であり、他の各項もQ2より全て9の倍数である
よって、Nも9の倍数である

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以上が私の考えた解答ですが、もっと「美しい解答」があればぜひ(`･ω･´)ノ

蛇足ながら、Q2の式をさらに展開すると・・・

f(k+1) = 9*10^k + f(k)
       = 9*10^k + 9*10^(k-1) + f(k-1)
        ...
       = 9*10^k + 9*10^(k-1) + ... + f(1)
       = 9*10^k + 9*10^(k-1) + ... + 9

・・・こうなるので、f(n)がn個の9を並べた数字であることもわかりますね

*1:http://parrot.blog21.fc2.com/blog-entry-1969.html